0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Получим способ разложения xy

Многочлены. Разложение многочлена на множители: способы, примеры

Понятия «многочлен» и «разложение многочлена на множители» по алгебре встречаются очень часто, ведь их необходимо знать, чтобы с легкостью производить вычисления c большими многозначными числами. В этой статье будет описано несколько способов разложения. Все они достаточно просты в применении, стоит лишь правильно подобрать нужный в каждом конкретном случае.

Понятие многочлена

Многочлен является суммой одночленов, то есть выражений, содержащих только операцию умножения.

Например, 2 * x * y – это одночлен, а вот 2 * x * y + 25 — многочлен, который состоит из 2 одночленов: 2 * x * y и 25. Такие многочлены называет двучленами.

Иногда для удобства решения примеров с многозначными значениями выражение необходимо преобразовать, например, разложить на некоторое количество множителей, то есть чисел или выражений, между которыми производится действие умножения. Есть ряд способов разложения многочлена на множители. Стоит рассмотреть их начиная с самого примитивного, который применяют еще в начальных классах.

Группировка (запись в общем виде)

Формула разложения многочлена на множители способом группировки в общем виде выглядит таким образом:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

Необходимо сгруппировать одночлены так, чтобы в каждой группе появился общий множитель. В первой скобке это множитель с, а во второй – d. Это нужно сделать для того, чтобы затем вынести его за скобку, тем самым упростив вычисления.

Алгоритм разложения на конкретном примере

Простейший пример разложения многочлена на множители способом группировки приведен ниже:

10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b)

В первую скобку нужно взять слагаемые с множителем а, который и будет общим, а во вторую – со множителем b. Обратите внимание на знаки + и – в готовом выражении. Мы ставим перед одночленом тот знак, который был в начальном выражении. То есть нужно работать не с выражением 25а, а с выражением -25. Знак минус как бы «приклеить» к стоящему за ним выражению и всегда учитывать его при вычислениях.

На следующем шаге нужно вынести множитель, который является общим, за скобку. Именно для этого и делается группировка. Вынести за скобку – значит выписать перед скобкой (опуская знак умножения) все те множители, которые с точностью повторяются во всех слагаемых, которые находятся в скобке. Если в скобке не 2, а 3 слагаемых и больше, общий множитель должен содержаться в каждом из них, иначе его нельзя вынести за скобку.

В нашем случае — только по 2 слагаемых в скобках. Общий множитель сразу виден. В первой скобке – это а, во второй – b. Здесь нужно обратить внимание на цифровые коэффициенты. В первой скобке оба коэффициента (10 и 25) кратны 5. Это значит, что можно вынести за скобку не только а, но и 5а. Перед скобкой выписать 5а, а затем каждое из слагаемых в скобках поделить на общий множитель, который был вынесен, и также записать частное в скобках, не забывая о знаках + и — Со второй скобкой поступить также, вынести 7b, так как и 14 и 35 кратно 7.

10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c – 5).

Получилось 2 слагаемых: 5а(2c — 5) и 7b(2c – 5). Каждое из них содержит общий множитель (все выражение в скобках здесь совпадает, значит, является общим множителем): 2с – 5. Его тоже нужно вынести за скобку, то есть во второй скобке остаются слагаемые 5а и 7b:

5а(2c — 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b).

Итак, полное выражение:

10ас + 14bc – 25a — 35b = (10ас – 25а) + (14bc — 35b) = 5а(2c — 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5а + 7b).

Таким образом, многочлен 10ас + 14bc – 25a — 35b раскладываается на 2 множителя: (2c – 5) и (5а + 7b). Знак умножения между ними при записи можно опускать

Иногда встречаются выражения такого типа: 5а 2 + 50а 3 , здесь можно вынести за скобку не только а или 5а, а даже 5а 2 . Всегда нужно стараться вынести максимально большой общий множитель за скобку. В нашем случае, если разделить каждое слагаемое на общий множитель, то получается:

5а 2 / 5а 2 = 1; 50а 3 / 5а 2 = 10а (при вычислении частного нескольких степеней с равными основаниями основание сохраняется, а показатель степени вычитается). Таким образом, в скобке остается единица (ни в коем случае не забывайте писать единицу, если выносите за скобку целиком одно из слагаемых) и частное от деления: 10а. Получается, что:

5а 2 + 50а 3 = 5а 2 (1 + 10а)

Формулы квадратов

Для удобства вычислений были выведены несколько формул. Они называются формулами сокращенного умножения и используются довольно часто. Эти формулы помогают разложить на множители многочлены, содержащие степени. Это еще один действенный способ разложения на множители. Итак, вот они:

  • a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 — формула, получившая название «квадрат суммы», так как в результате разложения в квадрат берется сумма чисел, заключенная в скобки, то есть значение этой суммы умножается само на себя 2 раза, а значит, является множителем.
  • a 2 + 2ab — b 2 = (a — b)2 — формула квадрата разности, она аналогична предыдущей. В результате получается разность, заключенная в скобки, содержащаяся в квадратной степени.
  • a 2 — b 2 = (a + b)(а — b) — это формула разности квадратов, так как изначально многочлен состоит из 2 квадратов чисел или выражений, между которыми производится вычитание. Пожалуй, из трех названных она используется чаще всего.

Примеры на вычисления по формулам квадратов

Вычисления по ним производятся достаточно просто. Например:

  1. 25x 2 + 20xy + 4y2 — используем формулу «квадрат суммы».
  2. 25x 2 является квадратом выражения 5х. 20ху — удвоенное произведение 2*(5х*2у), а 4y 2 — это квадрат 2у.
  3. Таким образом, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2у) 2 = (5x + 2у)(5x + 2у). Данный многочлен раскладывается на 2 множителя (множители одинаковые, поэтому записывается в виде выражения с квадратной степенью).

Действия по формуле квадрата разности производятся аналогично этим. Остается формула разность квадратов. Примеры на эту формулу очень легко определить и найти среди других выражений. Например:

  • 25а 2 — 400 = (5а — 20)(5а + 20). Так как 25а 2 = (5а) 2 , а 400 = 20 2
  • 36х 2 — 25у 2 = (6х — 5у) (6х + 5у). Так как 36х 2 = (6х) 2 , а 25у 2 = (5у 2 )
  • с 2 — 169b 2 = (с — 13b)(c + 13b). Так как 169b 2 = (13b) 2

Важно, чтобы каждое из слагаемых являлось квадратом какого-либо выражения. Тогда этот многочлен подлежит разложению на множители по формуле разности квадратов. Для этого не обязательно, чтобы над числом стояла именно вторая степень. Встречаются многочлены, содежащие большие степени, но все равно подходящие к этим формулам.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4 ) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

В данном примере а 8 можно представить как (a 4 ) 2 , то есть квадрат некого выражения. 25 — это 5 2 , а 10а 4 это удвоенное произведение слагаемых 2*a 4 *5. То есть данное выражение, несмотря на наличие степеней с большими показателями, можно разложить на 2 множителя, чтобы в последствии работать с ними.

Формулы кубов

Такие же формулы существуют для разложения на множители многочленов, содержащих кубы. Они немного посложнее тех, что с квадратами:

  • a 3 + b 3 = (а + b)(a 2 — ab + b 2 ) — эту формулу называют суммой кубов, так как в начальном виде многочлен представляет собой сумму двух выражений или чисел, заключенных в куб.
  • a 3 — b 3 = (а — b)(a 2 + ab + b 2 ) — формула, идентичная предыдущей, обозначена как разность кубов.
  • a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b)3 — куб суммы, в результате вычислений получается сумма чисел или выражений, заключенная в скобки и умноженная сама на себя 3 раза, то есть находящаяся в кубе
  • a 3 — 3a 2 b + 3ab 2 — b 3 = (a — b) 3 — формула, составленная по аналогии предыдущей с изменением лишь некоторых знаков математических операций (плюс и минус), имеет название «куб разности».

Последние две формулы практически не испольуются с целью разложения многочлена на множители, так как они сложны, и достаточно редко встречаются многочлены, полностью соответствующие именно такому строению, чтобы их можно было разложить по этим формулам. Но их все равно нужно знать, так как они потребуются при действиях в обратном направлении — при раскрытии скобок.

Примеры на формулы кубов

Рассмотрим пример: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2 ) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Здесь взяты достаточно простые числа, поэтому сразу можно увидеть, что 64а 3 — это (4а) 3 , а 8b 3 — это (2b) 3 . Таким образом, этот многочлен раскладывается по формуле разность кубов на 2 множителя. Действия по формуле суммы кубов производятся по аналогии.

Важно понимать, что далеко не все многочлены подлежат разложению хотя бы одним из способов. Но есть такие выражения, которые содержат большие степени, чем квадрат или куб, но их также можно разложить по формуам сокращенного умножения. Например: x 12 + 125y 3 =(x 4 ) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4 ) 2 − x 4 *5y+(5y) 2 )=(x 4 + 5y)(x 8 − 5x 4 y + 25y 2 ).

В этом примере содержится аж 12 степень. Но даже его возможно разложить на множители по формуле суммы кубов. Для этого нужно представить х 12 как (x 4 ) 3 , то есть как куб какого-либо выражения. Теперь в формулу вместо а нужно подставлять именно его. Ну а выражение 125у 3 — это куб 5у. Далее следует составить произведение по формуле и произвести вычисления.

На первых порах или в случае возникших сомнений, вы всегда можете произвести проверку обратным умножением. Вам нужно лишь раскрыть скобки в получившемся выражении и выполнить действия с подобными слагаемыми. Этот метод относится ко всем перечисленным способам сокращения: как к работе с общим множителем и группировке, так и к действиям по формулам кубов и квадратных степеней.

Методы разложения многочленов на множители

Основа метода

Пусть

– многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами ai . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Уравнение Pn ( z ) = 0 имеет хотя бы один корень.

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Пусть Pn ( z ) – многочлен степени n , z 1 – корень уравнения:
Pn ( z 1) = 0 .
Тогда Pn ( z ) можно представить единственным способом в виде:
Pn ( z ) = ( z – z 1) Pn– 1 ( z ) ,
где Pn– 1 ( z ) – многочлен степени n – 1 .

Доказательство

Для доказательства, применим теорему (см. Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком), согласно которой для любых двух многочленов Pn ( z ) и Qk ( z ) , степеней n и k , причем n ≥ k , существует единственное представление в виде:
Pn ( z ) = Pn–k ( z ) Qk ( z ) + Uk– 1 ( z ) ,
где Pn–k ( z ) – многочлен степени n–k , Uk– 1 ( z ) – многочлен степени не выше k– 1 .

Положим k = 1 , Qk ( z ) = z – z 1 , тогда
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) + c ,
где c – постоянная. Подставим сюда z = z 1 и учтем, что Pn ( z 1) = 0 :
Pn ( z 1 ) = ( z 1 – z 1 ) Pn– 1 ( z 1 ) + c ;
0 = 0 + c .
Отсюда c = 0 . Тогда
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) ,
что и требовалось доказать.

Разложение многочлена на множители

Итак, на основании теоремы 1, многочлен Pn ( z ) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z 1 , Pn ( z 1 ) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
Pn ( z ) = ( z – z 1 ) Pn– 1 ( z ) .
Далее, если n > 1 , то многочлен Pn– 1 ( z ) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z 2 , Pn– 1 ( z 2 ) = 0 . Тогда
Pn– 1 ( z ) = ( z – z 2 ) Pn– 2 ( z ) ;
Pn ( z ) = ( z – z 1 )( z – z 2 ) Pn– 2 ( z ) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z 1 , z 2 , . , z n таких, что
Pn ( z ) = ( z – z 1 )( z – z 2 ) . ( z – z n ) P ( z ) .
Но P ( z ) – это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z n , находим что она равна an . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1) Pn ( z ) = an ( z – z 1 )( z – z 2 ) . ( z – z n ) .

Числа zi являются корнями многочлена Pn ( z ) .

В общем случае не все zi , входящие в (1), различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2) Pn ( z ) = an ( z – z 1 ) n 1 ( z – z 2 ) n 2 . ( z – z k ) nk ;
.
Здесь zi ≠ zj при i ≠ j . Если ni = 1 , то корень zi называется простым. Он входит в разложение на множители в виде ( z–zi ) . Если ni > 1 , то корень zi называется кратным корнем кратности ni . Он входит в разложение на множители в виде произведения ni простых множителей: ( z–zi )( z–zi ) . ( z–zi ) = ( z–zi ) ni .

Многочлены с действительными коэффициентами

Далее мы считаем, что многочлен

имеет действительные коэффициенты ai .

Лемма 2

Если – комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, , то комплексно сопряженное число также является корнем многочлена, .

Доказательство

Действительно, если , и коэффициенты многочлена – действительные числа, то .

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
,
где , – действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3) ;
.

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения Pn(z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3).

Читать еще:  Серый ламинат в интерьере советы по сочетанию

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1. Находим корень z 1 уравнения Pn ( z 1) = 0 .
2.1. Если корень z 1 действительный, то в разложение добавляем множитель ( z – z 1) и делим многочлен Pn(z) на ( z – z 1) . В результате получаем многочлен степени n – 1 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена Pn– 1 (z) , начиная с пункта (1), пока не найдем все корни.
2.2. Если корень комплексный, то и комплексно сопряженное число является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель

,
где b 1 = – 2 x 1 , c 1 = x 1 2 + y 1 2 .
В этом случае, в разложение добавляем множитель ( z 2 + b 1 z + c 1) и делим многочлен Pn(z) на ( z 2 + b 1 z + c 1) . В результате получаем многочлен степени n – 2 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена Pn– 2 (z) , начиная с пункта (1), пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена

Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени – это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
.

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P 2( z ) = a 2 z 2 + a 1 z + a = 0 .
Если дискриминант 0″ style=»width:167px;height:22px;vertical-align:-12px;background-position: -392px -473px;»> , то уравнение имеет два действительных корня:
, .
Тогда разложение на множители имеет вид:
.
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
;
.
Если дискриминант D 0 , то корни уравнения комплексные,
.

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты – целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
,
коэффициенты ai которого – целые числа, имеет целый корень z 1 . Тогда этот корень является делителем числа a .

Доказательство

Перепишем уравнение Pn ( z 1) = 0 в виде:
.
Тогда – целое,
M z 1 = – a .
Разделим на z 1 :
.
Поскольку M – целое, то и – целое. Что и требовалось доказать.

Поэтому, если коэффициенты многочлена – целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a и, подстановкой в уравнение Pn ( z ) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание. Если коэффициенты многочлена – рациональные числа, , то умножая уравнение Pn ( z ) = 0 на общий знаменатель чисел ai , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена – целые числа и целых корней нет, то при an ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/an
и умножить уравнение на an n- 1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень yi , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
zi = yi /an .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
Pn ( z ) = z n – a ,
где a – комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
z n = a .
Это уравнение легко решается, если выразить a через модуль r и аргумент φ :
.
Поскольку a не изменится, если к аргументу прибавить 2 π , то представим a в виде:
,
где k – целое. Тогда
;
.
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, . n– 1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
.

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
.
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

Далее раскладываем квадратные многочлены на множители, если соответствующие многочлены имеют действительные корни.

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
.
Его корни определяются из уравнения:
.
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = z n :
a 2 n t 2 + an t + a = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t 1 , t 2 . После чего находим разложение в виде:
.
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители z n – t 1 и z n – t 2 . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен называется возвратным, если его коэффициенты симметричны:

Пример возвратного многочлена:
.

Если степень возвратного многочлена n – нечетна, то такой многочлен имеет корень z = –1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n – 1 .
Если степень возвратного многочлена n – четна, то подстановкой , он приводится к многочлену степени n/ 2 . См. Пример с возвратным многочленом >>>.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 11-06-2015 Изменено: 30-04-2016

Алгебра

Разложение многочленов на множители

Обложка урока взята с источника.

План урока:

Вынесение общего множителя за скобки

В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:

Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:

Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим

ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8

что, скорее всего, не получится посчитать в уме. Если же вынести aза скобки, то получим иную запись:

ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156

В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.

При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.

Рассмотрим полином 14ab – 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:

Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:

14ab — 63b 2 = 7b*2a — 7b*9b = 7b(2a-9b)

Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции – раскрытия скобки:

7b(2a — 9b) = 7b*2a — 7b*9b = 14ab — 63b 2

Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)

Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении

5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)

в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:

b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)

Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10

Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.

Далее рассмотрим буквенную часть. В ней должны быть переменные, которые есть во ВСЕХ слагаемых. В данном случае это a и b, а переменная cобщей не является, так как не входит в первое слагаемое.

Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3 :

8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10 )

В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.

Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:

Еще один пример. Необходимо разложить выражение

5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y)

Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому

-(8y — 3x) = -8y + 3x = 3x — 8y

Значит, можно заменить (3x – 8y) на – (8y – 3x):

5t(8y — 3x) + 2s(3x — 8y) = 5t(8y — 3x) + 2*(-1)s(8y — 3x) = (8y — 3x)(5t — 2s)

Ответ: (8y – 3x)(5t – 2s).

Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:

Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:

Этот прием часто используется при решении заданий.

Способ группировки

Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение

Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:

ab — 5a + bc — 5c = (ab — 5a) + (bc — 5c) = a(b — 5) + c(b — 5)

Теперь можно вынести выражение b – 5:

a(b — 5) + c(b — 5) = (b — 5)(a + c)

Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.

Пример. Разложим полином 6xy + ab– 2bx– 3ay.

Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:

6xy + ab — 2bx — 3ay = 6xy — 2bx + ab — 3ay = (6xy — 2bx) + (ab — 3ay) = 2x(3y — b) + a(b — 3y)

Разности 3y – b и b – 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:

Используем эту замену:

2x(3y — b) + a(b — 3y) = 2x(3y — b) — a(3y — b) = (3y — b)(2x — a)

В результате получили тождество:

6xy + ab — 2bx — 3ay = (3y – b)(2x – a)

Ответ: (3y – b)(2x – a)

Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме

x 2 — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z

можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:

x 2 — 3xy + xz + 2x — 6y + 2z = (x 2 — 3xy + xz) + (2x — 6y + 2z) = x(x — 3y + z) + 2(x — 3y + z) = (x + 2)(x — 3y + z)

Теперь рассмотрим задание повышенной сложности

Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 – 8x +15.

Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:

Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:

x 2 — 8x + 15 = x 2 — 3x — 5x + 15

x 2 — 3x — 5x + 15 = (x 2 — 3x) + (- 5x + 15) = x(x — 3) — 5(x — 3) = (x — 5)(x — 3)

Конечно, догадаться о замене – 8х = – 3х – 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:

(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab

Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 – 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:

С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= – 3 и b = – 5. Тогда

(x — 3)(x — 5) = x 2 * 8x + 15

в чем можно убедиться, раскрыв скобки.

Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:

x 2 * 8x + 15 = (2x — 6)(0.5x — 2.5)

Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:

(2x — 6)(0.5x — 2.5) = (x — 3) * 2 * (0.5x — 2.5) = (x — 3)(x — 5)

В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,

невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.

Читать еще:  Как сделать теплый плинтус электрический своими руками

Применение разложение многочленов на множители

Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9

Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 )

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8

за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:

Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):

Теперь выразим искомую нами сумму через х:

2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022

При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.

Теперь вычислим значение выражения

38.4 2 — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4

Посчитать это напрямую достаточно сложно. Однако можно применить метод группировки:

38.4 2 — 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 — 29.5 * 38.4 = 38.4 2 — 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 — 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 — 29.5) + 61.6(38.4 — 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 — 29.5) = 8.9*100 = 890

Далее посмотрим, как можно использовать разложение полинома для доказательства делимости чисел. Пусть требуется доказать, что выражение

81 4 — 9 7 + 3 12

делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:

81 = 9 2 = (3 2 ) 2 = 3 4

Зная это, произведем замену в исходном выражении:

81 4 — 9 7 + 3 12 = (3 4 ) 4 — (3 2 ) 7 + 3 12 = 3 16 — 3 14 + 3 12

3 16 — 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 — 3 2 + 1) = 3 12 * (81 — 9 + 1) = 3 12 * 73

Произведение 3 12 •73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 – 9 7 + 3 12 делится на это число.

Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:

(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)

Далее произведем замену 3a = 2a + a:

(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение

(x — y)(x + y) — 2x(x — y)

не является положительным числом.

Решение. Вынесем общий множитель х – у:

(x — y)(x + y) — 2x(x — y) = (x — y)(x + y — 2x) = (x — y)(y — x)

Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядкомбуквx и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:

Тогда можно записать:

(x — y)(y — x) = -(y — x)(y — x) = -(y — x) 2

Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у – х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.

Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:

Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.

Пример. Решите уравнение (s – 1)(s + 1) = 0.

Решение. В левой части записано произведение мономов s – 1 и s + 1, а в правой – ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s – 1, или s + 1:

s — 1 = 0 или s + 1 = 0

Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.

Пример. Решите уравнение 5w 2 – 15w = 0.

Решение. Вынесем 5w:

Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:

5w = 0 или (w — 3) = 0

Пример. Найдите корни уравнения k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0.

Решение. Сгруппируем слагаемые:

k 3 – 8k 2 + 3k– 24 = 0

(k 3 – 8k 2 ) + (3k– 24) = 0

k 2 (k — 8) + 3(k — 8) = 0

k 2 + 3 = 0 или k — 8 = 0

k 2 = -3 или k = 8

Заметим, что уравнение k 2 = – 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.

Пример. Найдите корни уравнения

(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21

Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:

(2u — 5)(u + 3) = 7u + 21

(2u — 5)(u + 3) — 7u — 21 = 0

(2u — 5)(u + 3) — 7(u + 3) = 0

(2u — 5 — 7)(u + 3) = 0

2u — 12 = 0 или u + 3 = 0

Пример. Решите уравнение

(t 2 — 5t) 2 = 30t — 6t 2

(t 2 — 5t) 2 = 30t — 6t 2

(t 2 — 5t) 2 — (30t — 6t 2 ) = 0

(t 2 — 5t)(t 2 — 5t) + 6(t 2 — 5t) = 0

(t 2 — 5t)(t 2 — 5t + 6) = 0

t 2 — 5t = 0 или t 2 — 5t + 6 = 0

Далее решим по отдельности эти уравнения:

t = 0 или t — 5 = 0

Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену – 5t = – 2t – 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:

t 2 — 2t — 3t + 6 = 0

t(t — 2) — 3(t — 2) = 0

T — 3 = 0 или t — 2 = 0

В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.

5 способов разложения многочлена на множители. Исчерпывающий гид (2020)

Хочешь подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике на отлично?

Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Для чего нужно раскладывать многочлен на множители?

Чтобы облегчить себе жизнь! После того как ты сделаешь это, выражение станет намного проще и ты сможешь с ним «разобраться»! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

Как это сделать?

Прочитай эту статью и у тебя не останется вопросов по этой теме. Сначала мы разберем что означают все «сложные» слова, потом объясним все пять ВОЛШЕБНЫХ способов разложения многочлена на множители. И затем разберем на примерах как это делать.

Let’s dive right in. (Поехали!)

– это могут быть числа, переменные, произведения чисел и переменных, а так же переменные в степени (если забыл, что такое степень, посмотри тему «Степень и ее свойства» )

Все это — одночлены. Видишь у них нет знаков «+» или «-«, как бы нет других членов.

Многочлен

— это выражение, состоящее из суммы (или разности) нескольких одночленов различного вида:

Что такое множители?

Так, ну давай по порядку. Как не трудно догадаться, слово «множитель» происходит от слова «умножать».

Возьмем, например, число , разложить его на множители означает расписать его в виде «умножения» или, как принято говорить в математике «произведения» множителей. Так мы можем получить, умножив на , а , в свою очередь, можно представить как произведение и .

Чтоб было более наглядно, обратимся к картинке:

На картинке мы видим пошаговое разложение на множители , те которые подчеркнуты – это множители, которые дальше разложить уже нельзя, т.е. их нельзя уже представить в виде произведения (можно конечно представить каждое из них как единица, умноженная на само число, но это нам ничего не дает).

Я обещал, что картинка все разъяснит, ну разве из нее не понятно, что, , а ? Вот и я говорю, что элементарно!

Иными словами, . Тут , еще раз и – это и есть множители , на которые мы раскладываем.

Зачем нужно раскладывать многочлен на множители?

Это самый главный вопрос. Я уже говорил — чтобы облегчить тебе жизнь. Раскладывая многочлен на множители, ты упрощаешь выражение! Ты как бы делишь одну большую и сложную проблему, на несколько маленьких и простых и потом разбираешься с каждой маленькой проблемой по отдельности.

А теперь «официальное» определение.

Разложение многочлена на множители – тождественное преобразование, превращающее сумму в произведение нескольких множителей. При этом каждый множитель может быть как многочленом, так и одночленом.

Для чего нужно знать все пять способов?

Потому что нет универсального способа, подходящего для всех многочленов.

Давай посмотрим на каждый из них.

5 способов разложения многочлена на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

2. Использование формул сокращенного умножения.

3. Метод группировки.

Применяется если преобразование не очевидно.

Здесь, например, можно переставить второй член на другое место:

группируем члены парами, получаем:

4. Метод выделения полного квадрата.

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения

5. Разложение квадратного трехчлена на множители.

Квадратный трехчлен – многочлен вида

Теорема. Если квадратное уравнение имеет корни , то его можно записать в виде:

А теперь подробнее о каждом из 5-ти способов разложения на множители

1. Вынесение общего множителя за скобки

Это один из самых элементарных способов упростить выражение. Для применения этого метода давай вспомним распределительный закон умножения относительно сложения (не пугайся этих слов, ты обязательно знаешь этот закон, просто мог забыть его название).

Закон гласит: чтобы сумму двух чисел умножить на третье число, нужно каждое слагаемое умножить на это число и полученные результаты сложить, иначе говоря, .

Так же можно проделать и обратную операцию, , вот именно эта обратная операция нас и интересует. Как видно из образца, общий множитель а, можно вынести за скобку.

Подобную операцию можно проделывать как с переменными, такими как и , например, так и с числами: .

Да, это слишком элементарный пример, так же, как и приведенный ранее пример, с разложением числа , ведь все знают, что числа , и делятся на , а как быть, если вам досталось выражение посложнее:

Как узнать на что, например, делится число , неет, с калькулятором-то любой сможет, а без него слабо? А для этого существуют признаки делимости, эти признаки действительно стоит знать, они помогут быстро понять, можно ли вынести за скобку общий множитель.

Признаки делимости

Запомнить их не так сложно, скорее всего, большинство из них и так тебе были знакомы, а что-то будет новым полезным открытием, подробнее в таблице:

Делится наПризнак делимости числа на данный делитель
2Оканчивается одной из цифр: 0, 2, 4, 6, 8
3Сумма цифр делится на 3
5Последняя цифра 5 или 0
7Разность между числом десятков и удвоенной цифрой единиц делится на семь
9Сумма цифр делится на 9
10Последняя цифра – ноль
11Разность между суммой цифр, стоящих на нечетных местах, и суммой цифр, стоящих на четных местах, делится на 11

Примечание: В таблице не хватает признака делимости на 4. Если две последние цифры делятся на 4, то и всё число делится на 4.

Ну как тебе табличка? Советую ее запомнить!

Что ж, вернемся к выражению , может вынести за скобку да и хватит с него? Нет, у математиков принято упрощать, так по полной, выносить ВСЕ что выносится!

И так, с игреком все понятно, а что с числовой частью выражения? Оба числа нечетные, так что на разделить не удастся,

Можно воспользоваться признаком делимости на , сумма цифр , и , из которых состоит число , равна , а делится на , значит и делится на .

Зная это, можно смело делить в столбик, в результате деления на получаем (признаки делимости пригодились!). Таким образом, число мы можем вынести за скобку, так же, как y и в результате имеем:

Чтоб удостовериться, что разложили все верно, можно проверить разложение, умножением!

Также общий множитель можно выносить и в степенных выражениях. Вот тут, например, , видишь общий множитель?

У всех членов этого выражения есть иксы – выносим, все делятся на – снова выносим, смотрим что получилось: .

2. Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения уже упоминались в теории, если ты с трудом помнишь что это, то тебе стоит освежить их в памяти «Формулы сокращенного умножения».

Ну, а если ты считаешь себя очень умным и тебе лень читать такую тучу информации, то просто читай дальше, глянь на формулы и сразу берись за примеры.

Читать еще:  Полимерный пол своими руками

Суть этого разложения в том, что бы заметить в имеющемся перед тобой выражении какую-то определенную формулу, применить ее и получить, таким образом, произведение чего-то и чего-то, вот и все разложение. Дальше приведены формулы:

А теперь попробуй, разложи на множители следующие выражения, используя приведенные выше формулы:

А вот что должно было получиться:

Как ты успел заметить, эти формулы – весьма действенный способ разложения на множители, он подходит не всегда, но может очень пригодиться!

3. Группировка или метод группировки

А вот тебе еще примерчик:

ну и что с ним делать будешь? Вроде бы и на что-то делится и на , а что-то на и на

Но все вместе на что-то одно не разделишь, ну нет тут общего множителя, как не ищи, что, так и оставить, не раскладывая на множители?

Тут надо смекалку проявить, а имя этой смекалке – группировка!

Применяется она как раз, когда общие делители есть не у всех членов. Для группировки необходимо найти группки слагаемых, имеющих общие делители и переставить их так, чтобы из каждой группы можно было получить один и тот же множитель.

Переставлять местами конечно не обязательно, но это дает наглядность, для наглядности же можно взять отдельные части выражения в скобки, их ставить не запрещается сколько угодно, главное со знаками не напутать.

Не очень понятно все это? Объясню на примере:

В многочлене ­­ ставим член – после члена – получаем

группируем первые два члена вместе в отдельной скобке и так же группируем третий и четвертый члены, вынеся за скобку знак «минус», получаем:

А теперь смотрим по отдельности на каждую из двух «кучек», на которые мы разбили выражение скобками.

Хитрость в том, чтоб разбить на такие кучки, из которых можно будет вынести максимально большой множитель, либо, как в этом примере, постараться сгруппировать члены так, чтобы после вынесения из кучек множителей за скобку у нас внутри скобок оставались одинаковые выражения.

Из обеих скобок выносим за скобки общие множители членов, из первой скобки , а из второй , получаем:

Но это же не разложение!

П осле разложения должно остаться только умножение , а пока у нас многочлен просто поделен на две части.

НО! Этот многочлен имеет общий множитель. Это

за скобку и получаем финальное произведение

Бинго! Как видишь, тут уже произведение и вне скобок нет ни сложения, ни вычитания, разложение завершено, т.к. вынести за скобки нам больше нечего.

Может показаться чудом, что после вынесения множителей за скобки у нас в скобках остались одинаковые выражения , которые опять же мы и вынесли за скобку.

И вовсе это не чудо, дело в том, что примеры в учебниках и в ЕГЭ специально сделаны так, что большинство выражений в заданиях на упрощение или разложение на множители при правильном к ним подходе легко упрощаются и резко схлопываются как зонтик при нажатии на кнопку, вот и ищи в каждом выражении ту самую кнопку.

Что-то я отвлекся, что у нас там с упрощением? Замысловатый многочлен принял более простой вид: .

Согласись, уже не такой громоздкий, как был?

4. Выделение полного квадрата.

Иногда для применения формул сокращенного умножения (повтори тему «Формулы сокращенного умножения») необходимо преобразовать имеющийся многочлен , представив одно из его слагаемых в виде суммы или разности двух членов.

В каком случае приходится это делать, узнаешь из примера:

Многочлен в таком виде не может быть разложен при помощи формул сокращенного умножения, поэтому его необходимо преобразовать. Возможно, поначалу тебе будет не очевидно какой член на какие разбивать, но со временем ты научишься сразу видеть формулы сокращенного умножения, даже если они не присутствуют не целиком, и будете довольно быстро определять, чего здесь не хватает до полной формулы, а пока – учись, студент, точнее школьник.

Для полной формулы квадрата разности здесь нужно вместо . Представим третий член как разность , получим: К выражению в скобках можно применить формулу квадрата разности (не путать с разностью квадратов. ) , имеем: , к данному выражению можно применить формулу разности квадратов (не путать с квадратом разности. ) , представив , как , получим: .

Не всегда разложенное на множители выражение выглядит проще и меньше, чем было до разложения, но в таком виде оно становится более подвижным, в том плане, что можно не париться про смену знаков и прочую математическую ерунду. Ну а вот тебе для самостоятельного решения, следующие выражения нужно разложить на множители.

Способ группировки

Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.

Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.

Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.

  1. Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
  2. Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
  3. Вынести полученный общий многочлен за скобки.

Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.

  1. Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах. У нас получится две группы одночленов с повторяющимися буквенными множителями.
  2. Вынесем общий множитель за скобки у каждой группы одночленов. П роверим, верно ли мы вынесли общий множитель за скобки. Для этого раскроем скобки обратно. М ы получили исходный многочлен, значит, мы правильно вынесли общий множитель за скобки.
  3. Теперь в полученном результате вынесем общий многочлен « (a + b) » за скобки.

Примеры способа группировки

Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .

Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.

Первый способ

Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )

Второй способ

Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.

48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)

В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.

Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.

    4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
    В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
    Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.

Смена знаков в скобках

Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.

Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.

2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)

Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.

  • 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
    = (n − m)(−2m + 1)

Метод факторизации Ферма онлайн

Данный онлайн калькулятор производит разложение чисел (факторизация) методом Ферма. Для разложении числа на множители методом Ферма, введите в калькулятор факторизируемое число, количество шагов и нажмите на кнопку «Решить». Подробнее о методе разложения Ферма посмотрите ниже.

Предупреждение

Метод Ферма − теория

Метод Ферма для разложения числа на множители основывается на следующем утверждении:

Утверждение 1. (метод факторизации Ферма). Пусть n>1 нечетное число 1 ) и пусть оно представлено в виде произведения двух натуральных множителей:

n=a·b(1)

1 ) В данной статье под словом число будем понимать натуральное (целое положительное) число.

Тогда n может быть представлен в виде разности квадратов двух чисел:

n=x 2 −y 2 , (x>y)(2)

Обратно. Пусть n>1 нечетное число и пусть оно представляется в виде разности двух квадратов (2). Тогда n можно представить в виде произведения двух чисел.

Доказательство. Пусть n представлен в виде (1). Произведение ab можно представить в следующем виде:

(3)

Пусть теперь n представлен в виде разности квадратов двух чисел, т.е. в виде (2). Тогда можно записать

n=x 2 −y 2 =(x+y)(x−y)=ab,
a=x+y, b=x−y.(4)

Данное утверждение дает возможность разложить нечетное число на два множителя. Отметим, что множители могут быть как простыми, так и составными.

Для разложения числа n на множители (факторизации) методом Ферма, нужно вычислить квадратный корень от n: s1=√ n . Выбрать наименьшее натуральное число больше s1:s= ⌈ s1 ⌉ = ⌈ √ n ⌉ . Задать k=0,1. и вычислить x=s+k, l=x 2 −n и выяснить, является ли число l полным квадратом какого-то натурального числа y. Если l 2 =y, то остановить процедуру. Получить множители числа n: a=x+y, b=x−y. Если l не является квадратом некторого натурального числа, то увеличить k на 1: k=k+1, вычислить x=s+k, l=x 2 −n и повторить процедуру.

Метод факторизации Ферма − алгоритм

  • Вход: Натуральное нечетное число n>1
  • Выход: Натуральный делитель a.
  1. Вычислить наименьшее целое число s такое, что s 2 ≥ √ n , т.е. s= ⌈ √ n ⌉ .
  2. Если s 2 =n, то a=s и завершить алгоритм.
  3. Взять x=s, l=x 2 −n и счетчик шагов k=0.
  4. Если l является полным квадратом, то вычислить y=√ l , a=x+y и закончить алгоритм.
  5. Вычислить k=k+1, x=x+1, l=x 2 −n. Перейти к пункту 4.

Другой делитель числа n равно b=n/a.

Покажем, что количество шагов алгоритма не превосходит величины

Имеем x=s+k. Тогда k=x−s. Учитывая, что a=x+y, получим k=x−s=a−y−s. Так как справедливо неравенство a>s>b, имеем

.
.

Отметим, что процедуру разложения можно оптимизировать. Вместо вычисления на каждом шаге квадрат x 2 в выражении l=x 2 −n, можно вычислить в начале процедуры x=s, , а на следующих шагах

Рассмотрим метод Ферма на конкретных примерах.

Метод факторизации Ферма − примеры и решения

Пример 1. Разложить число n=517 на множители.

Решение. Находим наименьшее целое число s такое, что , то есть . Далее задавая k=0,1. вычисляем l=(s+k) 2 −n. Если на каком то шаге l является квадратом натурального числа, то процедуру останавливаем:

При k=6 получили l=324, который является квадратом числа 18. Останавливаем процедуру и вычисляем множители a=x+y=29+18=47 и b=x−y=29−18=11. Таким образом разложение числа 517 имеет следующий вид: 517=47·11.

Пример 2. Разложить число n=43 на множители.

Решение. Находим наименьшее целое число s такое, что , то есть . Далее задавая k=0,1. вычисляем l=(s+k) 2 −n. Если на каком то шаге l является квадратом натурального числа, то процедуру останавливаем:

При k=15 получили l=441, который является квадратом числа 21. Останавливаем процедуру и вычисляем множители a=x+y=22+21=43 и b=x-y=22-21=1. Таким образом разложение числа 43 имеет следующий вид: 43=43·1. Это значит, что число 43 является простым числом.

Ответ. Число 43 простое.

Отметим, что метод Ферма эффективно работает, когда множители близки к числу s=√ n .

При проверке, является ли число l полным квадратом необходимо вычислить квадратный корень из большого целого числа. Мы могли бы использовать для этого алгоритм Нютона. Но это очень медленная операция. Поэтому для повышения производительности алгоритма мы рассмотрим алгоритм вычисления целозначного квадратного корня от натурального числа.

Алгоритм вычисления целозначного квадратного корня от натурального числа

  • Вход: Натуральное число n>0
  • Выход: Натуральное число q, удовлетворяющее неравенству q 2 ≤n 2 .
  1. Взять x=n
  2. Вычислить .
  3. Если y 2 ≤n 2 , т.е. q= ⌊ √ n ⌋ .

    Пусть x, n>0. Из неравенства следует, что

    Тогда . Отсюда следует:

    (5)

    Таким образом, на каждом шаге алгоритма xq (так как ). Третий шаг алгоритма показывает, что последваптельность значений x убывает. Покажем, что алгоритм остановится тольно при x=q.

    Предположим, что это не так и что на некотором шаге y≥x алгоритм остановлен, но x≠q, т.е. x>q.

    (6)

    Так как x>q, то x 2 >q 2 . Поскольку x целое число, то x 2 ≥(q+1) 2 . Но (q+1) 2 >n. Следовательно x 2 >n. Тогда из уравнения (6) следует, что y−x Пример. Найти целозначный корень числа n=129.

    Присвоим x=n=129. Вычислим

    Так как y Ответ. .

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector