5 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Линейные неравенства с модулем примеры

Неравенства с модулем. Примеры решения.

Абсолютной величиной (модулем) называется функция, которая каждому числу

хR ставит в соответствие число

Величина |х| равна расстоянию от точки х до начала координат.

Пусть х и у — действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.

1) |x|0.
2) |x| = 0x = 0.
3) |xy| = |x||y|.
4) |x : y| = |x| : |y|, где у0 .
5)= |x|, где m — четное число (2, 4, 6. ).
6) |x| n = x n , где n — четное число (2, 4, 6. ).
7) |x + y||x| + |y|.
8) |x — y||x| — |y|.

1. Стандарный способ.

Стандарный способ решения неравенств, содержащих модуль, состоит в том, что, зная промежутки, на которых функция, находящая под знаком модуля принимает значения определенных знаков, снимают знак модуля.

В общем случае при решении неравенств этим способом поступают так:

а) Находят ОДЗ неравенства.

б) Находят точки в которых функции, стоящие под знаком модуля, равны 0.

в) Полученные точки разделяют ОДЗ на несколько множеств.

г) На каждом, из полученных множеств, определяют знак каждой функци и, согласно определению модуля, снимают знак модуля.

д) Решают каждое из полученных неравенств.

е) Полученные множества объединяют.

Задача 1. Решить неравенство |x 2 — 3x + 2| + |2x +1| 2 — 3x + 2 = 0;

Три числа -0,5; 1 и 2 разделяют множество действительных чисел на четыре множества. Поэтому рассмотрим четыре случая.

1) (-; -0,5]. На этом промежутке x 2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 2 — 3x + 2 -2x — 1 2 — 5x — 4 0, следовательно, x1 =; x1 =;;

x-0,5,
2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 > 0,

тогда x 2 — 3x + 2 + 2x + 1 2 — x — 2 0, x1 = -1; x2 = 2;

-0,5 2 — 3x + 2 0;

-x 2 + 3x — 2 + 2x + 1 > 5;

D =25 — 24 = 1 > 0, x1 = 2; x2 = 3;

1 3;

Решение этого неравенства на этом промежутке x(1; 2)

4) (2; +). . На этом промежутке x 2 — 3x + 2 > 0, 2x + 1 > 0;

x 2 — 3x + 2 + 2x + 1 5;

x 2 — x — 2 2,
-1 Объединим полученные множества (; -0,5](-0,5; 1](1; 2);

x(; 2).

Ответ: (; 2).

2. Неравенства вида |f(x)| > g(x) (, 1.|f(x)|aнет решений2.|f(x)|a > 0-a3.|f(x)|aaнет решений4.|f(x)|aa = 0f ( x ) = 05.|f(x)|aa > 0-af(x)a6.|f(x)| > aaмножество решений совпадает с ОДЗ7.|f(x)| > aa = 0f ( x )8.|f(x)| > aa > 0f(x) или f(x) > a9.|f(x)|aaмножество решений совпадает с ОДЗ1 0.|f(x)|aa > 0f(x)-a или f(x)

Рекомендуем читателю построить график функции y = |f(x)| и обдумать формулы, а заодно и каждую строчку приведенной таблицы.

Пример 2. Решить неравенство |х + 5| > 4.

ОДЗ: хR. Согласно восьмой строке таблицы

|x + 5| > 4x + 5 4x -1.

Ответ: х(-; -9)(-1; +).

Пример 3. Решить неравенство.

Решим систему неравенств

17 + x0,
8 — x0;

x-17,
x8;

Таким образом ОДЗ функции, стоящей в левой части неравенства, является множество чисел из промежутка [-17; 0)(0; 8]. На этом множестве левая часть неравенства неотрицательна, следовательно, решением данного неравенства является ОДЗ.

Ответ: [-17; 0)(0; 8].

Пример 4. Решить неравенство |x 2 -6x + 5|x + 5.

Это неравенство равносильно совокупности неравенств

x 2 — 6x + 5x + 5,
x 2 — 6x + 5-x — 5;

Упростим каждое из неравенств полученной совокупности

x 2 — 7x0,
x 2 — 5x + 100;

x(х — 7)0,
x 2 — 5x + 100;

Решением первого неравенства является множество чисел (-; 0][7; +).

Квадратный трехчлен x 2 — 5x + 10 имеет отрицательный дискриминант, поэтому принимает только положительные значения и, следовательно, второе неравенство решений не имеет.

Ответ: (-; 0][7; +).

2). В ряде случаев (например, если g(х) — квадратный корень либо абсолютная величина, либо любая непрерывная функция, принимающая на всей области определения неотрицательные значения), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат. Как и в неравенствах |f g(х) (,1, 0. Для тех х из ОДЗ, где g(х) » выбран для определенности).

Алгоритм решения неравенства|f g <х), если g(х) >0

1.Почленно возвести в квадрат|f(x)| 2 > (g(x)) 2 , используя свойство 6, получим неравенство равносильное данному(f (g(х)) 2

3.Воспользоваться формулой(f(x) — g(х)) (f(x) + g(x)) > 0

4.Применить метод интервалов

Пример 5. Решить неравенство |x 2 — 5x + 9| 2 — 5x + 9| 2 2 .

(x 2 — 5x + 9) 2 — (x — 6) 2 2 — 5x + 9 -(x — 6))(x 2 — 5x + 9 +(x — 6)) 2 — 6x + 15)(x 2 — 4x + 3) 2 — 6x + 15 отрицателен (6 2 — 60 = -24) поэтому на всей области определения он принимает только положительные значения.

Дискриминант квадратного трехчлена x 2 — 4x + 3 положителен (4 2 — 12 = 4), он имеет два корня и они равны 1 и 3. Отрицательные значения квадратный трехчлен принимает, если 1

Уравнения с модулем

Эта статья посвящена приёмам решения различных уравнений и неравенств, содержащих
переменную под знаком модуля.

Если на экзамене вам попадётся уравнение или неравенство с модулем, его можно решить,
вообще не зная никаких специальных методов и пользуясь только определением модуля. Правда,
занять это может часа полтора драгоценного экзаменационного времени.

Поэтому мы и хотим рассказать вам о приёмах, упрощающих решение таких задач.

Прежде всего вспомним, что

Рассмотрим различные типы уравнений с модулем. (К неравенствам перейдём позже.)

Слева модуль, справа число

Это самый простой случай. Решим уравнение

Есть только два числа, модули которых равны четырём. Это 4 и −4. Следовательно, уравнение
равносильно совокупности двух простых:

Второе уравнение не имеет решений. Решения первого: x = 0 и x = 5.

Переменная как под модулем, так и вне модуля

Здесь приходится раскрывать модуль по определению. . . или соображать!

Уравнение распадается на два случая, в зависимости от знака выражения под модулем.
Другими словами, оно равносильно совокупности двух систем:

Решение первой системы: . У второй системы решений нет.
Ответ: 1.

Первый случай: x ≥ 3. Снимаем модуль:

Число , будучи отрицательным, не удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому не является корнем исходного уравнения.

Выясним, удовлетворяет ли данному условию число . Для этого составим разность и определим её знак:

Значит, больше трёх и потому является корнем исходного уравнения

Стало быть, годятся лишь и .

Ответ:

Квадратные уравнения с заменой |x| = t

Поскольку , удобно сделать замену |x| = t. Получаем:

Модуль равен модулю

Речь идёт об уравнениях вида |A| = |B|. Это — подарок судьбы. Никаких раскрытий модуля по определению! Всё просто:

Например, рассмотрим уравнение: . Оно равносильно следующей совокупности:

Остаётся решить каждое из уравнений совокупности и записать ответ.

Два или несколько модулей

Не будем возиться с каждым модулем по отдельности и раскрывать его по определению — слишком много получится вариантов. Существует более рациональный способ — метод интервалов.

Выражения под модулями обращаются в нуль в точках x = 1, x = 2 и x = 3. Эти точки делят числовую прямую на четыре промежутка (интервала). Отметим на числовой прямой эти точки и расставим знаки для каждого из выражений под модулями на полученных интервалах. (Порядок следования знаков совпадает с порядком следования соответствующих модулей в уравнении.)

Таким образом, нам нужно рассмотреть четыре случая — когда x находится в каждом из интервалов.

Случай 1: x ≥ 3. Все модули снимаются «с плюсом»:

Полученное значение x = 5 удовлетворяет условию x ≥ 3 и потому является корнем исходного уравнения.

Случай 2: 2 ≤ x ≤ 3. Последний модуль теперь снимается «с минусом»:

Полученное значение x также годится — оно принадлежит рассматриваемому промежутку.

Случай 3: 1 ≤ x ≤ 2. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Мы получили верное числовое равенство при любом x из рассматриваемого промежутка [1; 2] служат решениями данного уравнения.

Читать еще:  Сетевые шуруповерты электрические Область применения электрических шуруповёртов

Случай 4: x ≤ 1 ≤ 1. Второй и третий модули снимаются «с минусом»:

Ничего нового. Мы и так знаем, что x = 1 является решением.

Модуль в модуле

Начинаем с раскрытия внутреннего модуля.

1) x ≤ 3. Получаем:

Выражение под модулем обращается в нуль при . Данная точка принадлежит рассматриваемому
промежутку. Поэтому приходится разбирать два подслучая.

1.1) Получаем в этом случае:

Это значение x не годится, так как не принадлежит рассматриваемому промежутку.

1.2) . Тогда:

Это значение x также не годится.

Итак, при x ≤ 3 решений нет. Переходим ко второму случаю.

Здесь нам повезло: выражение x + 2 положительно в рассматриваемом промежутке! Поэтому никаких подслучаев уже не будет: модуль снимается «с плюсом»:

Это значение x находится в рассматриваемом промежутке и потому является корнем исходного уравнения.

Так решаются все задачи данного типа — раскрываем вложенные модули по очереди, начиная с внутреннего.

Читайте также о том, как решать неравенства с модулем.

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России) +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Обучающее видео
БЕСПЛАТНО

Техническая поддержка:
help@ege-study.ru (круглосуточно)

Пробные репетиционные ЕГЭ: пройдите бесплатное тестирование! Все, как на настоящем ЕГЭ.
Звоните, чтобы записаться:

8 (495) 984-09-27 или 8 (800) 775-06-82

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Все поля обязательны для заполнения

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса — от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум — репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля — до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги — 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» — всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных

Неравенство с двумя модулями. Часть II

«Неравенство с двумя модулями. Часть I» смотрим здесь.

Решим неравенство

Правило раскрытия модуля говорит, что раскрытие модуля зависит от того, какой знак имеет подмодульное выражение. Стало быть, нас будут интересовать нули подмодульных выражений, – смена знака подмодульного выражения возможна только в них.

В нашем случае нуль первого модуля – это 4, нули второго подмодульного выражения – это -3 и 2.

Вся числовая ось указанными точками разбивается на 4 промежутка. Нам предстоит поработать с неравенством в каждом из них.

Если у вас возник вопрос, почему, например, в крайнем левом промежутке у нас число -3 не включено, а на следующем включено (аналогично с другими), – ответим на него. На самом деле, – все равно, куда именно вы включите концы промежутков. Лишь бы при склейке все промежутки давали бы нам всю числовую прямую, если мы работаем на R.

Выясним, как распределяются знаки подмодульных выражений на каждом из промежутков.

Начнем с первого подмодульного выражения. Очевидно, что при 4″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»15″ w /> знак выражения – минус, то есть , а при .

«Переключателями» же знака второго подмодульного выражения из неравенства являются точки -3 и 2. Если , то при остальных имеем: 0″ title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»20″ w />. Если вам не кажутся очевидными знаки этого подмодульного выражения на указанных промежутках, загляните сюда (метод интервалов).

Мы замечаем, что на двух промежутках (первом и третьем слева) знаки подмодульных выражений распределены одинаково.

Итак, первый случай:

Предстоит решить систему (мы объединили первый и третий промежутки в совокупность):

Во второй строке системы приводим подобные слагаемые и раскладываем на множители:

Теперь переходим на ось, пересекаем два множества между собой:

.

Второй случай:

.

Третий случай:

4,& & -4+x+x^2+x-6geq 7; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ w />

4,& & x^2+2x-17geq 0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ w />

4,& & (x-(-1+3sqrt2))(x-(-1-3sqrt2))geq 0; end» title=»Rendered by QuickLaTeX.com» height=»60″ w />

.

Нам осталось объединить решения каждого из случаев между собой:

Ответ:

Читать еще:  Электричество объяснение для детей

Для тренировки предлагаю Вам решить следующее неравенство:

Решение задач по математике онлайн

kor.giorgio@gmail.com Выход

Калькулятор онлайн.
Решение уравнений и неравенств с модулями.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить уравнение или неравенство с модулями. Программа для решения уравнений и неравенств с модулями не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >>
С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> |x| или abs(x) — модуль x

Введите уравнение или неравенство с модулями
Решить уравнение или неравенство

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Немного теории.

Уравнения и неравенства с модулями

В курсе алгебры основной школы могут встретится простейшие уравнения и неравенства с модулями. Для их решения можно применять геометрический метод, основанный на том, что ( |x-a| ) — это расстояние на числовой прямой между точками x и a: ( |x-a| = rho (x;; a) ). Например, для решения уравнения ( |x-3|=2 ) нужно найти на числовой прямой точки, удалённые от точки 3 на расстояние 2. Таких точек две: ( x_1=1 ) и ( x_2=5 ).

Решая неравенство ( |2x+7| 0 ), то уравнение ( |f(x)|=c ) равносильно совокупности уравнений: ( left[begin f(x)=c \ f(x)=-c endright. )
2) Если ( c > 0 ), то неравенство ( |f(x)| c ) равносильно совокупности неравенств: ( left[begin f(x) c endright. )
4) Если обе части неравенства ( f(x) 0. Значит, |2х – 4| = (2х – 4), |х + 3| = (х + 3). Таким образом, на рассматриваемом промежутке заданное уравнение принимает вид: (2х – 4) + (х + 3) = 8. Решив это уравнение, находим: х = 3. Это значение принадлежит рассматриваемому промежутку, а потому является корнем заданного уравнения.
Итак, (x_1=-1, ; x_2=3 ).

Второй способ
Преобразуем уравнение к виду 2|x – 2| + |x + 3| = 8. Переведём эту аналитическую модель на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки М(х), которые удовлетворяют условию ( 2rho(x; ;2)+ rho(x; ;-3) =8 ) или
MA + 2MB = 8
( здесь A = A(–3), B = B(2) ).

Интересующая нас точка М не может находиться левее точки А, поскольку в этом случае 2MB > 10 и, следовательно, равенство MA + 2MB = 8 выполняться не может.
Рассмотрим случай, когда точка ( M_1(x) ) лежит между А и В. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(2 – х) = 8,
откуда находим: x = –1.
Рассмотрим случай, когда точка ( M_2(x) ) лежит правее точки B. Для такой точки равенство MA + 2MB = 8 принимает вид:
(х – (–3)) + 2(х – 2) = 8,
откуда находим: х = 3.
Ответ: –1; 3.

Пусть теперь требуется решить неравенство ( |f(x)| |f(x)| ). Отсюда сразу следует, что ( g(x) > 0 ). Воспользуемся тем, что при ( g(x) > 0 ) неравенство ( |f(x)| 0, \ -g(x) 0 \ f(x) -g(x) endright. )

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при ( g(x) > 0 ) обе части неравенства ( |f(x)| 0 \ (f(x))^2 0 \ x^2 — 3x + 2 -(2x — x^2) endright. )
Решая эту систему, получаем:
( left x(x — 2) 0 \ (x^2 — 3x + 2)^2 0 endright. Rightarrow )
( left 0 0 endright. Rightarrow )
( left 0 0<,>5 endright. )
Из последней системы находим: ( 0<,>5 g(x) ). Освободиться от знака модуля можно тремя способами.

Первый способ
Если (f(x) geq 0), то ( |f(x)| = f(x) ) и заданное неравенство принимает вид ( f(x) > g(x) ).
Если (f(x) g(x) ).
Таким образом, задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
( left f(x) geq 0 \ f(x) > g(x) endright. ) ( left f(x) g(x) endright. )

Второй способ.
Рассмотрим два случая: ( g(x) geq 0, ; g(x) g(x) ) выполняется для всех x из области определения выражения f(x).
Если ( g(x) geq 0 ), то воспользуемся тем, что согласно утверждению 3) в самом начале данной теории неравенство ( |f(x)| > g(x) ) равносильно совокупности неравенств ( f(x) g(x) ).
Таким образом, заданное неравенство сводится к совокупности трёх систем:
( left g(x) g(x) endright. )

Третий способ.
Воспользуемся тем, что при ( g(x) geq 0 ) неравенство ( |f(x)| > g(x) ) равносильно неравенству ( (|f(x)|)^2 > (g(x))^2 ). Это позволит свести неравенство ( |f(x)| > g(x) ) к совокупности систем:
( left g(x) (g(x))^2 endright. )

ПРИМЕР 5. Решить неравенство ( |x^2 — 3x + 2| geq 2x — x^2 )

Первый способ
Задача сводится к решению совокупности двух систем неравенств:
( left x^2 — 3x + 2 geq 0 \ x^2 — 3x + 2 geq 2x — x^2 endright. ) ( left x^2 — 3x + 2 0 ), то заданное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:
( left[begin x^2 — 3x + 2 geq 2x — x^2 \ x^2 — 3x + 2 leq -(2x — x^2) endright. )
Таким образом, получаем совокупность неравенства и двух систем неравенств:
( 2x — x^2 leq 0; ) ( left 2x — x^2 > 0 \ x^2 — 3x + 2 geq 2x — x^2; endright. ) ( left 2x — x^2 > 0 \ x^2 — 3x + 2 leq -(2x — x^2) endright. )
Решив неравенство ( 2x — x^2 leq 0 ), получим: ( x leq 0,; x geq 2 )
Решив первую систему, получим: ( 0 0 ), то обе части заданного неравенства можно возвести в квадрат. Таким образом, получаем совокупность неравенства и системы неравенств:
( 2x — x^2 leq 0; ) ( left 2x — x^2 > 0 \ (x^2 — 3x + 2)^2 geq (2x — x^2)^2 endright. )
Решив неравенство ( 2x — x^2 leq 0 ), получим: ( x leq 0,; x geq 2 )
Решая систему, получаем последовательно:
( left x(x — 2)

Линейные неравенства с модулем примеры

Модулем числа называется само это число, если оно неотрицательное, или это же число с противоположным знаком, если оно отрицательное.

Например, модулем числа 6 является 6, модулем числа –6 тоже является 6.

То есть под модулем числа понимается абсолютная величина, абсолютное значение этого числа без учета его знака.

(Подробнее – в разделе «Модуль числа»).

Уравнения с модулем.

Пример 1. Решить уравнение |10 х – 5| = 15.

В соответствии с правилом, уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

10х = 15 + 5 = 20
10х = –15 + 5 = –10

Пример 2. Решить уравнение |2 х + 1| = х + 2.

Поскольку модуль – число неотрицательное, то х + 2 ≥ 0. Соответственно:

Составляем два уравнения:

Оба числа больше –2. Значит, оба являются корнями уравнения.

Пример 3. Решить уравнение

Уравнение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю – значит, если х ≠ 1. Учтем это условие. Наше первое действие простое – не просто освобождаемся от дроби, а преобрахуем ее так, чтобы получить модуль в чистом виде:

Теперь у нас в левой части уравнения только выражение под модулем. Идем дальше.
Модуль числа есть неотрицательное число – то есть он должен быть больше нуля или равен нулю. Соответственно, решаем неравенство:

Таким образом, у нас появилось второе условие: корень уравнения должен быть не меньше 3/4.

Читать еще:  Должностная инструкция дежурного по режиму

В соответствии с правилом, составляем совокупность двух уравнений и решаем их:

Мы получили два ответа. Проверим, являются ли они корнями исходного уравнения.

У нас было два условия: корень уравнения не может быть равен 1, и он должен быть не меньше 3/4. То есть х ≠ 1, х ≥ 3/4. Обоим этим условиям соответствует только один из двух полученных ответов – число 2. Значит, только оно и является корнем исходного уравнения.

Неравенства с модулем.

Пример 1. Решить неравенство | х – 3|

Правило модуля гласит:

Модуль может иметь и неотрицательное, и отрицательное число. Значит, мы должны рассмотреть оба случая: х – 3 ≥ 0 и х – 3

1) При х – 3 ≥ 0 наше исходное неравенство остается как есть, только без знака модуля:
х – 3

Раскрыв скобки, получаем:

Таким образом, от этих двух условий мы пришли к объединению двух систем неравенств:

Итак, у нас в ответе объединение двух множеств:

Определяем наименьшее и наибольшее значения. Это –1 и 7. При этом х больше –1, но меньше 7.
Кроме того, х ≥ 3. Значит, решением неравенства является все множество чисел от –1 до 7, исключая эти крайние числа.

1) Есть более простой и короткий способ решения нашего неравенства — графический. Для этого надо нарисовать горизонтальную ось (рис.1).

При этом, согласно условию неравенства, сами -1 и 7 не включены во множество решений. Таким образом, получаем ответ:

2) Но есть еще одно решение, которое проще даже графического способа. Для этого наше неравенство надо представить в следующем виде:

Ведь так оно и есть по правилу модуля. Неотрицательное число 4 и аналогичное отрицательное число –4 являются границами решения неравенства.

Далее мы просто переносим влево и вправо число –3 с обратным знаком, оставляя х в одиночестве:

Пример 2. Решить неравенство | х – 2| ≥ 5

Этот пример существенно отличается от предыдущего. Левая часть больше 5 либо равна 5. С геометрической точки зрения, решением неравенства являются все числа, которые от точки 2 отстоят на расстоянии 5 единиц и больше (рис.2). По графику видно, что это все числа, которые меньше или равны –3 и больше или равны 7. А значит, мы уже получили ответ.

Попутно решим это же неравенство способом перестановки свободного члена влево и вправо с противоположным знаком:

Ответ тот же: –3 ≥ х ≥ 7.

Пример 3. Решить неравенство 6 х 2 – | х | – 2 ≤ 0

Число х может быть и положительным числом, и отрицательным, и нулем. Поэтому нам надо учесть все три обстоятельства. Как вы знаете, они учитываются в двух неравенствах: х ≥ 0 и х

Теперь о втором случае: если х

Таким образом, мы получили две системы уравнений:

Надо решить неравенства в системах – а это значит, надо найти корни двух квадратных уравнений. Для этого приравняем левые части неравенств к нулю.

Начнем с первого:

Как решается квадратное уравнение – см. раздел «Квадратное уравнение». Мы же сразу назовем ответ:

Из первой системы неравенств мы получаем, что решением исходного неравенства является все множество чисел от –1/2 до 2/3. Пишем объединение решений при х ≥ 0:
[–1/2; 2/3].

Теперь решим второе квадратное уравнение:

Объединим два ответа и получим итоговый ответ: решением является все множество чисел от –2/3 до 2/3, включая и эти крайние числа.

Неравенства с модулем

    Дарья Бараненко 3 лет назад Просмотров:

1 И. В. Яковлев Материалы по математике MathUs.ru Содержание Неравенства с модулем Геометрический смысл модуля Замена переменной Перебор промежутков Равносильные переходы Задачи Данная статья продолжает предыдущую статью «Уравнения с модулем». Мы рассматриваем в целом аналогичные ситуации, только вместо знака равенства будет стоять знак неравенства. Геометрический смысл модуля Понятие модуля обладает простым геометрическим смыслом: именно, x есть расстояние от точки x до нуля. Более общим образом, x a есть расстояние от точки x до точки a. Давайте рассмотрим несколько элементарных примеров.. Решениями неравенства x 5 являются все те x, которые удалены от точки на расстояние, большее 5. Это объединение двух непересекающихся лучей с выколотыми началами: ; 8 ; +.

2 8 X Множество решений неравенства x + > 5 Задача. МГУ, геологич. ф-т, 00 Решить неравенство x + x 5 Решение. Числитель дроби положителен при всех x, поэтому данное неравенство равносильно отрицательности знаменателя: 0. x 5 . t >. t t t >, поскольку запрещённое значение t = 0 не является решением последнего, которое, в свою очередь, равносильно t + t t 3 Ответ: 0; 5; 4. Задача. МГУ, ф-т почвоведения, 00 Решить неравенство y 4 y 0. Решение. Делаем замену y = t: t 4 t 0 t t 0 4 t 0, t 4, откуда y 0, y 4, y = 0, y 4, y 4. Ответ: ; 4 0> 4 ; +. Перебор промежутков В некоторых неравенствах модуль снимается «в лоб» путём рассмотрения значений переменной на различных промежутках. Задача 4. МГУ, экономич. ф-т, 984 Решить неравенство x 4 + x Решение. Разбираем три случая расположения x относительно точек 5 и 4. x 4. Имеем: x 4 + x + 5 6, x 9 5. Полученное неравенство выполняется при всех рассматриваемых x 4. Иными словами, все числа из промежутка 4; + являются решениями нашего неравенства. 5 x 4. Имеем в данном случае: 4 x + x + 5 6, x. Учитывая, в каком промежутке мы сейчас находимся, получаем в качестве решений исходного неравенства множество ; 4. x 5. Имеем: 4 x x 5 6, x 5.

4 Так как и отрицательно при 4 и отрицательно при x 5 Умножение на модуль Как известно, неравенство можно умножить на положительную величину с сохранением знака неравенства. В частности, имеет место эквивалентность A B , xx , x x + 0. Решения системы образуют множество 0. 4

6 Пусть x E = ; 4 5; +. Тогда x x 0 0, и неравенство 4 равносильно неравенству x 9 > 0 x + x x 0 B. Действительно, если B > 0, то эквивалентность 7 8 очевидна. В случае B 0 неравенство 7 не имеет решений; но и система 8 также не имеет решений, поскольку выражение A не может быть одновременно меньше неположительной величины B и больше неотрицательной величины B. Следовательно, и при B 0 имеем 7 8. На экзамене или олимпиаде вам придётся привести эти рассуждения, доказывающие законность рассмотренного перехода 8 A B. 9 Но оно того стоит! Это наглядно демонстрирует следующий пример. Задача 8. Решить неравенство x x + x x 4x + 0 6 +, x 7 Вот и всё. Теперь легко получаем ответ. Ответ: + ;. Переход 9 сохраняет свой вид при замене строгого равенства на нестрогое: A B A B, A B. 0 Доказательство эквивалентности 0 совершенно аналогично тому, что приведено выше. Неравенства вида A > B Неравенство A > B равносильно совокупности A > B, A B, а при A 8 Неравенства вида A . а ; 0; б ; 7 4; +. МГУ, физический ф-т, 996 . 7 ; 7 8

9 6. МГУ, ф-т почвоведения, 998 x + x +. ; 0; 7. МГУ, физический ф-т, 004 x 6 x 5; б x 4x x 0. а ; 4 ; + ; б ; ; 6 Перебор промежутков. МГУ, геологич. ф-т, 005 x x + x 0. > ;. МГУ, геологич. ф-т, 006 x 9 x x 4; ; ; + 4. МГУ, ИСАА, 998 x x > x x. ; ; 6; + 9

10 5. МГУ, геологич. ф-т, 00 x x + x + x. ; ; + 6. МГУ, геологич. ф-т, 004 x x 4 x. 5; 7. МГУ, химический ф-т, 007 x + 4x + 4 x + x + 8x + 6. x + 4 ; 6 5; 4 > 8. МГУ, ФНМ, 00 4x x. 7 ; ; + 9. МГУ, геологич. ф-т, 00 x x + + x + 5 x ; ; 0. МГУ, мехмат, 985 x + x + x. ; ; ; +. МГУ, мехмат, 004 x + x + x + x + x x 0x 7x 6 0. ; 0 ; + > ; +. МГУ, социологич. ф-т, 999 x x x. ; 0> ; + 0

11 . МГУ, экономич. ф-т, 984 x + 5x ; 5 4. МГУ, ф-т гос. управления, 00 x x. ; 5 ; + 5. МГУ, ВМК, 00 x + 4 x ; 0 6. МГУ, филологич. ф-т, 99 x + + x x + 99 . > 0; ; +

12 . МГУ, геологич. ф-т, 998 x + x x + 5x + x ; 4 ; ; +

13 4. МГУ, биологич. ф-т, 999 x x + 5. ; ; ; МГУ, социологич. ф-т, 00 x + + x. ; 0 0; 4. МГУ, геологич. ф-т, 00 x + x + x + x 5 0. ; 7 ; МГУ, геологич. ф-т, 007 x x x. 9; 45. МГУ, мехмат, 000 x 4 x x x 14 5. МГУ, ф-т почвоведения, 005 x x. ; + 5. Моск. матем. регата, 00, 8 x x МГУ, мехмат, 008 x x x + x. 0; ; + ; > ; «Покори Воробьёвы горы!», 0, 0 + x x x + x x. > ; + 4

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector