Решение логарифмических неравенств методом интервалов

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Журнал Педагог

Автор: Смирнова Наталья Александровна
Должность: учитель математики
Учебное заведение: МБОУ » Гимназия №127″
Населённый пункт: город Снежинск
Наименование материала: Методическая разработка
Тема: » Обобщенный метод интервалов при решении логарифмических неравенств»
Дата публикации: 05.09.2016
Раздел: полное образование

Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
Тема: Обобщенный метод интервалов при решении

логарифмических неравенств .
В курсе математического анализа формулируется теорема: Теорема: Если   x f непрерывна на отрезке   b a; и не обращается в 0 на открытом промежутке   b a; , то   x f имеет один и тот же знак во всех внутренних точках отрезка   b a; . Это и есть основание для метода интервалов для непрерывной функции: найти нули   x f и определить знаки   x f на промежутках между соседними нулями, вычислив значения в «пробных» точках. Однако иногда «пробную» точку выбрать трудно, иногда при выяснении знака функции в «пробной» точке вычисления могут оказаться громоздкими, и из-за арифметической ошибки результат окажется неверным. Рассмотрим условия равносильности, которые часто
за один шаг

сведут
решение самых распространенных логарифмических неравенств
к решению

рациональных неравенств.
I. Для логарифмических неравенств с заданным основанием а ( где а – положительное , отличное от 1 число) можно записать полное условие равносильности, включающее ОДЗ: логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f   0 log  x f a                0 1 1 0 x f a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Преимущество использования условий равносильности по сравнению с обычным способом решения даже таких простейших неравенств состоит в том, что мы не думаем о том, большим или меньшим единицы является основание. Это особенно важно при решении задач ЕГЭ, когда время для их решения ограничено.
Правило 1:

Знак
  x f a log
совпадает со знаком произведения
      1 1   x f a
в ОДЗ.
логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f Условия равносильности верны и для нестрого неравенства. логарифмические неравенства вида:     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f     x g x f a a log log                        0 1 0 0 x g x f a x g x f
Правило 2:
Знак разности     x g x f a a log log  совпадает со знаком произведения         x g x f a   1 в ОДЗ.
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» Правило 2 дает возможность просто справиться с неравенствами, решение которых обычным способом потребует гораздо больше вычислений. Например, можно очень просто решить неравенство вида         0 0 log log    x h x g x f a a По правилу 2, получаем, что           0 1    x h x g x f a
№1.
0 16 7 2 log 5 4 log 2 7 3                 x x x ОДЗ:                ; 4 7 4 1 ; 5 4     0 1 16 7 2 1 7 1 5 4 1 3 2                     x x x 0 4 9 4 1 5 1                  х х х , с учетом ОДЗ
Ответ:
                      4 9 ; 4 7 4 1 ; 5 1 4 1 ; 5 4
№2.
  1 1 1 3 log 3    x x ОДЗ: ) ; 0 (    0 1 3 log 1 3 log 1 3 3      x x x 0 1 3 1 3 1      x x x 0 1 2 3 3    x x 0 1 2 3 log 3    x x
Ответ:
          ; 1 2 3 log ; 0 3
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»
№3
.   1 1 log 3 log 3 1 3 1    x x       0 1 log 1 log 3 log 2 1 3 3 3        x x x ОДЗ: ) ; 1 (         0 1 log 1 log 2 3 log 3 3 3       x x x 0 ) 1 1 )( 1 3 ( ) 3 1 2 )( 1 3 ( 2          x x x x 0 ) 1 )( 2 (    x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
       ; 1 0 ; 1
№4.
Найдите сумму длин промежутков, являющихся решениями неравенства             0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x Задача интересна тем, что без применения правил решение будет очень громоздким. ОДЗ:     4 ; 0 0 ; 4               0 16 lg 2 lg 5 1 2 3 2 2 2       x x x x x         0 16 2 5 5 3 2 2          x x x x x x , с учетом ОДЗ:     4 ; 3 3 4 ; 5 0 ; 5 3 4 ; 4                    x Сумма длин промежутков равна 5 3 4 5 3 4 5 0 4 3 4         
Ответ:
5. II. Логарифмы с переменным основанием. логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»     0 log  x f x a                       0 1 1 0 0 x f x a x a x f Для нестрого неравенства условие выглядит так: логарифмические неравенства вида:     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f     0 log  x f x a                            0 1 1 1 0 0 x f x a x a x a x f
Правило 3:
Знак функции     x f x a log совпадает со знаком произведения         1 1   x f x a в ОДЗ. По определению,               x a x g x f x g x f x a x a lg lg lg log log    и, в силу правил 1 , 2 справедливо логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                               0 1 0 0 0 x g x f x a x a x g x f При решении нестрого неравенства условия равносильности примут вид
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» логарифмические неравенства вида:         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f         x g x f x a x a log log                                    0 1 1 0 0 0 x g x f x a x a x a x g x f
Правило 4:
Знак разности         x g x f x a x a log log  совпадает со знаком произведения           x g x f x a   1 в ОДЗ. Преимущество и красота приведенных условий равносильности состоит в том, что мы за один шаг освободились от логарифмов и переменных оснований, и теперь, если основание логарифма и подлогарифмическое выражение являются рациональными функциями, можно воспользоваться классическим методом интервалов. Заметим, что условия раносильности формально точно такие же, как и для логарифмов с постоянным основанием, а потому легко запоминаются. Именно это и дает основание называть частное     x а x f lg lg просто     x f x a log . Но как показывает практика, полными услвиями равносильности не всегда удобно пользоваться. Это происходит, если входящие в условия равносильности неравенства громоздки. Тогда удобно отделить нахождение ОДЗ от решения основного неравенства.
№5.
1 3 log 4 log 1 4 log 9 9     x x x ОДЗ: ) ; 1 ( ) 1 ; 0 (   1 log 2 log 1 4 log 9 9 9     x x x 0 log ) log 1 ( 2 log 3 log 2 9 9 9 9 2      x x x x 0 log ) log 1 ( ) 2 1 (log ) 2 (log 2 9 9 9 9        x x x x
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127» 0 ) 1 log (log ) 9 1 log (log ) 3 log (log ) 81 1 log (log 9 9 9 9 9 9 9 9        x x x x             0 9 1 1 9 1 1 9 3 1 9 81 1 1 9                      x x x x      0 9 1 1 3 81 1                  x x x x , с учетом ОДЗ
Ответ:
  3 ; 1 9 1 ; 81 1       
№6.
      1 1 3 3 3 3 3 3 3 5 log 3 5 log 9 25 log           x x x x x x x x x                        0 3 5 3 5 1 3 3 0 3 5 0 3 3 1 1 x x x x x x x x                          0 3 3 4 5 5 4 1 3 3 0 1 x x x x x                                          0 3 5 3 5 2 3 4 3 0 1 0 1 x x x x x                              0 1 3 2 3 4 0 1 x x x x x
Ответ:
             3 4 ; 1 3 2 ; 0
№7
. Найти значения параметра а, при которых область определения функции     1 log 2 log      ax a x у a a не пуста. Укажите эту область определения.     0 1 log 2 log      ax a x a a                            0 1 2 1 0 1 0 2 1 0 ax a x a ax a x a a
Смирнова Наталья Александровна, учитель математики МБОУ « Гимназия №127»                            0 ) 3 ( ) 1 ( 1 0 1 2 2 1 0 a a x a ax a x a a                            0 1 3 1 2 1 0 2 a a x a a x a a ax+1 > 0 при условии, что х > 2, a > 0                 a a х a x a a 1 3 2 1 0 Если а > 1, то условия х > 2 и а а х    1 3 противоречивы. Если 0

Решение задач по математике онлайн

kor.giorgio@gmail.com Выход

Калькулятор онлайн.
Решение логарифмических неравенств.

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам решить логарифмическое неравенство. Программа для решения логарифмического неравенства не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс получения результата.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Обязательно ознакомьтесь с правилами ввода функций. Это сэкономит ваше время и нервы.
Правила ввода функций >> Почему решение на английском языке? >> С 9 января 2019 года вводится новый порядок получения подробного решения некоторых задач. Ознакомтесь с новыми правилами >> —> ln(b) или log(b) или log(e,b) — натуральный логарифм числа b
log(10,b) — десятичный логарифм числа b
log(a,b) — логарифм b по основанию a

Введите логарифмическое неравенство
Решить неравенство

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Немного теории.

Логарифмические неравенства

Неравенства вида
( log_ax > b ) и ( log_ax 0, ; a neq 1, ; b in mathbb )
называют простейшими логарифмическими неравенствами.

Эти неравенства можно переписать в виде
( log_ax > log_aс ) и ( log_ax 1)

Функция (y = log_ax ) возрастает на всей своей области определения, т.е. на интервале ( (0; ; +infty) ). Поэтому для любого числа (x > c) справедливо неравенство ( log_ax > log_aс ), а для любого ( x in (0; ; c) ) справедливо неравенство ( log_ax 1) и ( b in mathbb ) множество всех решений неравенства ( log_ax > log_aс ) есть интервал ( (c; ; +infty) ), а множество всех решений неравенства ( log_ax c) справедливо неравенство ( log_ax log_aс ). Кроме того, равенство ( log_ax = log_aс ) справедливо лишь при ( x = c ).

Таким образом, при ( 0 log_aс ) есть интервал ( (0; ; c) ), а множество всех решений неравенства ( log_ax -2)

Так как ( -2 = log_<3>>9 ), то неравенство можно переписать в виде ( log_<3>>x > log_<3>>9 )

Так как ( frac<1> <2>= log_42 ), то неравенство можно переписать в виде ( log_4x > log_42 )

Так как (4 > 1 ), то функция ( y = log_4x ) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал ( (2; ; +infty) ).
Ответ: ( (2; ; +infty) )

ПРИМЕР 3. Решим неравенство ( log_3x — 3log_9x — log_<81>x > 1<,>5 )
Так как
$$ log_9x = frac = frac <2>= frac<1> <2>log_3x ,$$
$$ log_<81>x = frac = frac <4>= frac<1> <4>log_3x ,$$
то неравенство можно переписать в виде
( left( 1- frac<3> <2>-frac<1> <4>right) log_3x > 1<,>5 Rightarrow )
( log_3x 1 ), то функция ( y = log_3x ) возрастающая. Поэтому множество всех решений неравенства есть интервал ( (0; ; frac<1><9>) )
Ответ: ( (0; ; frac<1><9>) )

Решение логарифмических неравенств

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

Функция монотонна на всей своей области определения. При

То есть знак неравенства сохраняется.

При этом необходимо не забыть про ОДЗ, т.к. под логарифмом могут стоять строго положительные выражения. ОДЗ представлено системой:

Решением исходного неравенства является эквивалентное неравенство , поэтому для соблюдения ОДЗ достаточно защитить меньшее из чисел получаем систему неравенств, которая соответствует исходному неравенству:

4. Решение более сложных логарифмических неравенств

Пример 1 – решить неравенство:

Согласно методике решения простейших логарифмичеких неравенств, первым действием необходимо уравнять основания логарифмов, в данном случае представить правую часть в виде логарифма с требуемым основанием:

Поскольку основание логарифма больше единицы, в эквивалентной системе знак неравенства сохранится:

Ответ:

Пример 2 – решить неравенство:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Нам известно, что число Пи больше единицы (). Поэтому в эквивалентном неравенстве знак исходного неравенства сохраняется:

Преобразуем полученное неравенство:

Корни квадратного уравнения, стоящего в левой части, согласно теореме Виета . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас значения находятся между корней уравнения:

Ответ с учетом ОДЗ:

Сведение к простейшему логарифмическому неравенству часто осуществляется с помощью замены переменных.

Пример 3 – решить неравенство:

Приведем второй член к основанию 5:

Очевидна замена:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями.

Вернемся к исходным переменным:

Преобразуем согласно определению логарифма:

Ответ:

Пример 4 – решить неравенство:

ОДЗ:

Согласно свойству логарифма преобразуем в левой части сумму логарифмов с одинаковым основанием в логарифм произведения:

Преобразуем правую часть в логарифм с требуемым основанием:

Основание логарифма больше единицы, получаем эквивалентное неравенство с тем же знаком:

Согласно теореме Виета корни квадратного уравнения, стоящего в левой части: . Имеем параболу, ветви которой направлены вверх. Интересующие нас решения находятся в интервале между корнями:

Ответ с учетом ОДЗ:

Итак, мы рассмотрели решение различных типовых логарифмических неравенств. Далее мы перейдем к решению более сложных логарифмических неравенств.

Список рекомендованной литературы.

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. М.: Мнемозина

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. М.: Дрофа.

3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. М.: Просвещение.

Рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет

Рекомендованное домашнее задание

1. Алгебра и начала анализа, 10—11 класс (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын) 1990, №526-528;

2. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

3. Решить неравенство:

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Логарифмические неравенства. Как решать логарифмические неравенства?

Логарифмическими называют неравенства, содержащие переменную под знаком логарифма.

Если проще: это неравенства , в которых неизвестные (иксы) или выражения с ними находятся внутри логарифмов.

Как решать логарифмические неравенства:

Любое логарифмическое неравенство нужно стремиться привести к виду (log_a⁡ ˅ log_a<⁡g(x)>) (символ (˅) означает любой из знаков сравнения ). Такой вид позволяет избавиться от логарифмов и их оснований, сделав переход к неравенству выражений под логарифмами, то есть к виду (f(x) ˅ g(x)).

Но при выполнении этого перехода есть одна очень важная тонкость:
(-) если основание логарифма — число и оно больше 1 — знак неравенства при переходе остается прежним,
(-) если основание — число большее 0, но меньшее 1 (лежит между нулем и единицей), то знак неравенства должен меняться на противоположный, т.е.

Примеры:

Очень важно! В любом неравенстве переход от вида (log_a <⁡f(x)>˅ log_a⁡) к сравнению выражений под логарифмами можно делать только если:

(-) вы написали ОДЗ для исходного неравенства. Напоминаю ОДЗ для логарифма (log_a⁡b):

(-) число в основании логарифмов слева и справа одинаково;

(-) логарифмы слева и справа — «чистые», то есть нет никаких коэффициентов, умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы и слева, и справа;

Кстати, в конце (после решения) не забудьте пересечь решения неравенства с ОДЗ.

1) (log_3⁡<(x^2-3)>>log_3⁡<(2x)>)
(x^2-3>2x)
(x^2-2x-3>0)

(x∈(-∞;-1)∪(3;+∞))

Не написали ОДЗ и не пересекли с ним решение. Неравенство решено неверно.

Основания логарифмов разные, переход к (x-7≤4) невозможен.

ОДЗ представляет собой дробно-рациональное неравенство . Решим его с помощью метода интервалов . Вынесем в числителе за скобки (3), а в знаменателе (2), чтобы убрать коэффициенты перед иксами.

Теперь очевидно, что корни у нас – числа (frac<2><3>) и (frac<3><2>)
Построим числовую ось и отметим на ней эти точки.

Запишем ОДЗ в виде интервалов.

С ОДЗ закончили, переходим к решению.

Мы привели неравенство к виду (log_a⁡ ˅ log_a⁡). Теперь можно избавиться от логарифмов и оснований. Нужно только определиться, менять знак сравнения или нет. Основание (frac<1> <3>(⁡frac<3x-2><2x-3>) (≥) (3)

Переносим (3) и приводим к общему знаменателю, пользуясь свойствами дробей .

Умножаем неравенство на (-1), не забыв при этом перевернуть знак сравнения.

Далее выносим (3) из числителя и (2) из знаменателя.

Построим числовую ось и отметим на ней точки (frac<7><3>) и (frac<3><2>) . Обратите внимание, точка из знаменателя – выколота, несмотря на то, что неравенство нестрогое. Дело в том, что эта точка не будет решением, так как при подстановке в неравенство приведет нас к делению на ноль.

(x∈() ( frac<3><2>) (;) (frac<7><3>])

Теперь на ту же числовую ось наносим ОДЗ и записываем в ответ тот промежуток, который попадает в ОДЗ.

Записываем окончательный ответ.

Ответ: (x∈() ( frac<3><2>) (;) (frac<7><3>])

Пример. Решить неравенство: (log^2_3⁡x-log_3⁡x-2>0)

Приступим к решению.

Перед нами типичное квадратно-логарифмическое неравенство. Делаем замену .

Раскладываем левую часть неравенства на множители .

Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.

Методы решения логарифмических неравенств

Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство log_a f(x) > log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 2. Если 0 log_a g(x) равносильно системе неравенств

Утверждение 3. Неравенство log_h(x) f(x) > log_h(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

0 log_a g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, 2 — x) ? log₃(x + 8);d)

b) e) log_2x(x 2 — 5x + 6) 2 — x) ? log₃(x + 8) Ы x 2 — x ? x + 8,Ы x 2 — 2x — 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

c) Запишем 0 = log₂1 и, используя утверждение 1, получим

Запишем и, используя утверждение 2, получим

d) Используя утверждение 3, получим

Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

e) Запишем 1 = log_2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак

Решение первой системы совокупности:

Решение второй системы совокупности:

Неравенства вида F(log_ax) > 0 сводятся подстановкой t = log_ax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

Пример 2. Решить неравенства

Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t 2 + t — 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

Пример 3. Решить неравенства

Решение. a) ОДЗ неравенства — множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

lg(x — 2)(x — 5) 2 > t + 11,

откуда t 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

Так как в ОДЗ log₂(x-1) > 0 при x > 2 и log₂(x-1) 3, значит,